トーナルセンター

「Eフリジアンモードの場合→【E(トーナルセンター)・F(キャラクターノート)〜」ですが、ご存知だとは思いますがトーナルセンターとは主音、もしくは中心音と呼ばれるいわゆるルート(root)の音です(スケールでいえば最初の音、コードでいえば一番下の音、一般的なメロディであればフレーズの最後の音)。
キャラクターノートは特性音のことで、モードの特長を表す音です。主音とともに、どのモードが奏でられているのか明示する役割を持っています。アボイドノートのFを積極的にというのは、旋律を演奏する場合にそのモードの特長を表す音だからその音がないと意図するモードに聞こえない恐れがあるので、モードの特徴を提示するためだと思います。実際の演奏ではフレーズの早めに特性音を用いることが多いです。
以前の教本にはアボイドノートはコードトーンとぶつかってしまうため配慮して(使っちゃいけないということではなく)演奏すると記載されているのだと思いますが、新しい教本の「積極的に」がどこまで積極的なのかわかりませんが、いっぱい使うということではなく、音がぶつかるけれども恐れないで使いましょう、と私は判断しました。ですので配慮しなければならないという意味では本質的に言っていることはどちらも同じではないでしょう。